Pendahuluan

Secara bahasa, kata ’matematika’ berasal dari bahasa Yunani, yaitu ”mathema” yang berarti hal-hal yang dipelajari. Nasoetion (dalam Abdusysyakir, 2007: 5), menyatakan bahwa matematika berasal dari bahasa Yunani ”mathein” atau ”manthenin” yang artinya mempelajari. Orang Belanda menyebut matematika dengan wiskunde, yang artinya ilmu pasti. Orang Arab menyebut matematika sebagai ilmu hisab, artinya ilmu hitung. Di Indonesia, matematika disebut ilmu hitung atau ilmu pasti. Oleh karena sulitnya memperlajari matematika, orang Indonesia memberikan plesetan matematika dengan mati-matian.

Secara istilah, hingga saat ini belum ada definisi yang tepat mengenai matematika. Hal ini disebabkan oleh keluasan wilayah kajian itu sendiri dan sudut pandang yang digunakan. Pada awalnya, wilayah kajian matematika mempelajari tentang bilangan dan ruang. Sementara saat ini kajian matematika sampai menelaah hal-hal yang membutuhkan daya pikir dan imajinasi tingkat tinggi. Dari segi sudut pandang yang digunakan, matematika dapat dilihat dari ruang kajian, struktur, atau karakter yang lain.

Meski deskripsi tentang matematika tersebut berbeda-beda, pada setiap pandangan terhadap matematika memiliki karakteristik umum yang sama. Karakteristik umum matematika yang dimaksud meliputi obyek kajian yang abstrak, bertumpu pada kesepakatan, berpola pikir deduktif, konsisten dalam sistemnya, memiliki simbol yang kosong dari arti, dan memerhatikan semesta pembicaraan.

Obyek Kajian Matematika di Sekolah Dasar

Pada bahasan kali ini, kita hanya membahas karakteristik umum matematika yang terkait dengan obyek kajian matematika, terutama matematika yang diajarkan di sekolah dasar (SD). Kita tahu bahwa matematika mempunyai obyek kajian yang abstrak, meski tidak setiap yang abstrak itu matematika. Beberapa matematikawan mengganggap bahwa obyek matematika itu konkret dalam pikiran mereka. Oleh karena itu, kita dapat menyebut obyek matematika secara lebih tepat sebagai obyek mental atau pikiran. Obyek matematika seperti yang dimaksud ada empat macam, yaitu fakta, konsep, operasi atau relasi, dan prinsip (Sumardyono, 2004: 30-46).

1.      Fakta

Fakta adalah pemufakatan atau konvensi dalam matematika yang biasanya diungkapkan melalui simbol-simbol tertentu.

Contoh:

Simbol ”2” secara umum telah dipahami sebagai simbol untuk bilangan dua. Sebaliknya bila kita menghendaki simbol bilangan dua, kita cukup menggunakan simbol ”2”.

Fakta yang lain dapat berupa gabungan beberapa simbol, seperti ”2 + 3” yang dipahami sebagai ”dua ditambah tiga”, ”2 x 3” yang dipahami sebagai ”dua kali tiga” yang tentunya berbeda dengan ”3 x 2”, dan ”2 < 3” yang dipahami sebagai ” dua lebih kecil tiga”.

Cara mempelajari fakta dapat dilakukan dengan cara hafalan, latihan terus-menerus, demonstrasi tertulis, dan lain sebagainya. Meski begitu, yang perlu kita perhatikan, bahwa mengingat fakta itu penting, dan memahami konsep yang mewakilinya ternyata jauh lebih penting. Skemp menuturkan bahwa arti atau konsep yang diwakili oleh simbol disebut deep structure (struktur dalam), sedangkan bentuk simbol itu sendiri dinamakan surface structure (struktur muka).

Dalam memperkenalkan simbol atau fakta matematika kepada siswa, guru seharusnya melalui beberapa tahap yang memungkinkan siswa dapat menyerap makna dari simbol-simbol tersebut. Penggunaan simbol yang seharusnya secara informal pada tahap awal digunakan untuk membantu anak tetap pada pola dan hubungan yang dapat mereka pahami. Pendekatan dari Jerome Bruner, yaitu enaktif, ikonik, dan simbolik dapat diterapkan dalam pembelajaran. Mereka bahkan dapat menggunakan simbol-simbol pilihan mereka sendiri. Hal ini dipikirkan sebagai suatu cara untuk menjaga partisipasi siswa dalam proses penemuan dan formalisasi pengalaman matematika. Selain itu, pendekatan ini juga bermanfaat untuk menjaga pengalaman belajar dari sekedar latihan mengingat (Resnic & Ford (1981) dalam Sumadyono, 1994: 31-32).

Penggunaan fakta yang berupa simbol bila terlalu cepat diberikan kepada siswa dapat menyebabkan salah pengertian atau miskonsepsi terhadap simbol tersebut. Di samping itu, penekanan pada aspek teknis yang berupa hitungan saja juga dapat memunculkan miskonsepsi tersebut.

Contoh miskosepsi:

Miskonsepsi yang seringkali terjadi di SD adalah penggunaan yang kurang tepat terhadap simbol ”=”. Simbol ini seringkali tidak hanya dipahami ”sama dengan” tetapi juga ”memberi hasil”. Bila pemikiran seperti ini yang diperoleh, maka siswa akan menulis seperti kalimat berikut: 2 + 4 = 6 + 3 = 9 + 11 = 20. Kalimat matematika yang demikian tentu kalimat yang salah.

2.      Konsep

Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengkategorikan sekumpulan obyek, apakah obyek tertentu merupakan contoh konsep atau bukan.

Contoh:

”Segitiga” adalah nama suatu konsep. Dengan konsep itu, kita dapat membedakan mana yang merupakan contoh segitiga dan mana yang bukan contoh segitiga.

Konsep ini dapat dipelajari lewat definisi atau observasi langsung. Seseorang akan dianggap memahami konsep, bilamana orang tersebut dapat memisahkan mana contoh konsep dan mana yang bukan.

a.       Definisi

Konsep berhubungan dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi konsep. Dengan adanya definisi, seseorang dapat membuat ilustrasi gambar, skema, atau simbol dari konsep yang didefinisikan.

Contoh:

Konsep ”lingkaran” dapat didefinisikan sebagai kumpulan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu. Dengan definisi ini, kita dapat membuat sketsa lingkaran. Sementara untuk menunjukkan lingkaran, orang sepakat memilih simbol ”O”.

Ada tiga definisi yang kita kenal, yaitu:

1)      Definisi analitik

Suatu definisi disebut analitik apabila definisi tersebut dibentuk dengan genus proksimum dan diferensia spesifika (genus: keluarga terdekat, deferensia spesifika: pembeda khusus)

Contoh (SMP):

Perhatikan dua definisi belah ketupat berikut.

·         Belah ketupat adalah jajargenjang yang ...

·         Belah ketupat adalah segi empat yang ...

Definisi pertama menyebutkan genus proksimum jajargenjang, sedangkan definisi kedua menyebutkan segi empat sebagai genus proksimum atau keluarga terdekatnya. Adapun sifat yang disebutkan setelah kata “yang” merupakan diferensia spesifika.

2)      Definisi genetik

Suatu definis dikatakan bersifat genetik apabila pada definisi tersebut terdapat ungkapan tentang cara terjadinya konsep yang didefinisikan.

Contoh:

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang terjadi jika suatu persegi panjang dipotong menurut salah satu garis diagonalnya.

3)      Definisi dengan rumus

Definisi dengan rumus adalah definisi yang dinyatakan dengan menggunakan kalimat matematika.

b.      Intensi dan ekstensi suatu definisi

Dalam suatu definisi, terdapat dua hal yang disebut intensi atau hal yang menjadi fokus dalam pernyataan dan ekstensi atau hal yang menjadi jangkauan dari pernyataan. Dua definisi dengan intensi yang berbeda dapat memiliki ekstensi yang sama. Perhatikan contoh berikut.

1)      Segitiga sama sisi adalah segitiga yang sama sisinya.

2)      Segitiga sama sisi adalah segitiga yang sudutnya sama.

Definisi 1) dan 2) mendefiniskan hal yang sama, yaitu segitiga sama sisi. Namun, atributnya berbeda, definisi yang satu mengutamakan sisi, sedangkan definisi yang lain mengutamakan sudut. Hal ini dapat dikatakan bahwa definisi 1) dan 2) memiliki ekstensi (jangkauan) yang sama, sedangkan intensinya berbeda.

Berkaitan dengan intensi dan ekstensi suatu definisi, maka definisi konsep matematika dapat beragam bentuknya. Oleh karena itu, kemungkinan definisi yang diungkapkan siswa dapat saja berbeda dengan definisi formal yang biasa digunakan dalam matematika. Sehingga guru semestinya harus jeli untuk melihat kemungkinan kesamaan dari definisi tersebut. Guru selayaknya tidak menyalahkan definisi yang diberikan siswa andaikan memang memiliki pengertian yang sama. Andaikan salah, guru harus memfasilitasi siswa untuk mendapatkan definisi yang tepat.

3.      Operasi atau Relasi

Operasi adalah pengerjaan hitung, pengertian aljabar, dan pengertian matematika lainnya. Sedangkan relasi adalah hubungan dua atau lebih elemen.

Contoh:

Contoh operasi antara lain: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, gabungan, irisan, dll. Sedangkan contoh relasi antara lain: sama dengan, lebih kecil, lebih besar, dll.

Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi, yaitu relasi khusus. Hal ini dikarenakan operasi merupakan aturan yang memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Semesta dari elemen-elemen yang dioperasikan dengan elemen yang diperoleh dari operasi tersebut bisa sama dan bisa pula berbeda. Elemen yang dihasilkan dari suatu operasi disebut hasil operasi.

Dalam matematika, dikenal bermacam-macam operasi, misalnya operasi unair, bila melibatkan hanya elemen yang diketahui; operasi biner, jika melibatkan tepat dua elemen yang diketahui; operasi terner, jika melibatkan tepat tiga elemen yang diketahui.

Contoh:

Operasi penjumlahan, perkalian, gabungan, dan irisan termasuk operasi biner, sedangkan operasi pangkat dua, tambah lima, dan komplemen merupakan contoh operasi unair.

Operasi seringkali juga disebut sebagai skill atau keterampilan, bila yang ditekankan adalah keterampilannya. Keterampilan ini dapat dipelajari melalui demonstrasi, drill, dll. Siswa akan dianggap telah menguasai suatu keterampilan atau operasi jika ia dapat mendemonstrasikan keterampilan atau operasi tersebut dengan benar.

4.      Prinsip

Prinsip adalah obyek matematika yang terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana, dapat dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan di antara berbagai obyek dasar matematika. Prinsip dapat berupa aksioma, teorema atau dalil, sifat, dsb. Contohnya, sifat komutatif dan sifat asosiatif dalam aritmatika.

Siswa akan dianggap telah memenuhi suatu prinsip jika ia memahami cara prinsip itu dibentuk dan dapat menggunakannya dalam situasi yang sesuai. Bila siswa dapat melakukan hal itu, berarti ia telah memahami fakta, konsep, definisi, operasi atau relasi yang termuat dalam prinsip tersebut.