PREMIS

Dalam buku keenam dan ketujuh dari Republic, Plato melanjutkan teori pernyataan yang ia mulai di Phaedo. Meskipun mudah merumuskan dan menerapkan kriteria negatif untuk menolak tesis-tesis yang harus ditolak jika tidak konsisten, lebih sulit untuk menerapkan kriteria positif. Kriteria positif tesis yaitu  tesis yang harus diterima jika kesimpulan deduktif diakui benar berlaku. Tapi pertanyaan yang sama kemudian muncul. Setiap kali kita mencoba untuk membenarkan matematika dalam logika deduktif, kita dihadapkan dengan masalah dari mana kita akan mendapatkan premis awal kita.

Status Aksioma
Pendekatan aksiomatik dapat dikembangkan dalam tiga cara:

1)      Aksioma-aksioma yang jelas; epistemologis Platonism dan geometri tradisional

2)      Aksioma adalah kebenaran logika, dan dapat dibuktikan; logicism

3)      Aksioma-aksioma yang tidak benar atau salah; Formalisme

Masing-masing kemungkinan telah diadopsi oleh beberapa pemikir, dan menimbulkan filsafat matematika yang berbeda. Bahwa beberapa dalil harus jelas. Meskipun tidak jelas bagaimana kita tahu jelas kebenarannya, banyak kebenaran tampak jelas bagi banyak pemikir berabad-abad. Secara khusus, itu postulat Euclid umumnya diambil untuk mengekspresikan bukti kebenaran.

Tetapi Plato berfikir. Dia merasa terdorong untuk mencoba dan memberikan account (logon didonai), dari pengandaian, (hupotheseis), untuk membebaskan mereka dari status hipotetis mereka dan menunjukkan bahwa mereka benar-benar bisa dipercaya, tidak hanya seharusnya. Ini adalah aksioma, hal-hal yang layak untuk dipercaya. Kita dapat membenarkan aksioma satu sistem dengan menunjukkan kepada  mereka suatu teorema, tampaknya kurang terbuka untuk dipertanyakan. Plato disini menunjukkan dirinya sebagai proto-Logicist. Para Logicists berharap untuk memperoleh seluruh matematika dari logika murni, yang masuk akal, dan dapat dianggap sebagai titik awal yang tidak perlu seharusnya, tetapi bisa diambil untuk diberikan tanpa pertanyaan lebih lanjut. Program Logicist, yang selanjutnya akan dibahas dalam Bab Empat, Lima dan Enam. Tapi Plato masih belum puas. Namun sejauh kita kembali, akan selalu ada beberapa sistem yang mendasar yang aksiomanya membutuhkan pembenaran tanpa adanya sistem yang lebih mendasar yang di dalamnya mereka dapat ditetapkan sebagai teorema. Pada akhir buku keenam Republik, ia memulai pada pencarian untuk
(arche anupothetos), titik awal untuk semua matematika unpostulated pernyataan, tetapi tidak benar-benar menemukan itu, meskipun ia berpikir itu ada hubungannya dengan Bentuk Yang Baik, (dia tahu tou agathou). Ada kesan mencoba nya untuk melakukan versi logis dari trik tali India. Para (arche anupothetos) akan selalu lalai, jika hanya metode untuk menetapkan kebenaran adalah bukti deduktif dari premis-premis.

Orang-orang Yunani itu tidak berfikir jauh sepanjang jalur fiatory, dan tidak pernah berusaha untuk meresmikan matematika sepenuhnya, namun faktanya Plato penggantinya, didorong untuk mendalilkan aksioma dan menetapkan beberapa  definisi, menimbulkan pertanyaan mengapa Plato sendiri tidak mengadopsi  pendekatan eksplisit formalis. Jawaban dapat dibaca dari  dua bagian di Republik, di mana Plato mengkritik  metodologi geometers pada zamannya, dan di mana ia  hampir mengantisipasi kritik kita. Dia berkata :

Kau tahu tentu saja bagaimana siswa dalam mata pelajaran seperti geometri  dan aritmatika memulainya dengan memposisikan angka ganjil dan bahkan atau  berbagai angka dan tiga macam sudut, dan lainnya .Data tersebut dalam setiap mata pelajaran. Data ini mereka ambil seperti yang dikenal;  dan, setelah mengadopsi sebagai asumsi mereka, mereka tidak merasa  penting untuk memberi pertanggungan jawab kepada diri mereka sendiri atau untuk  orang lain, tapi memperlakukan mereka sebagai orang yang sudah jelas. Kemudian, dari asumsi ini, mereka memulainya hingga mereka selesai, oleh  serangkaian langkah-langkah yang konsisten, untuk semua kesimpulan yang mereka tetapkan. 

Geometri bergabung dengan studi lain untuk menemukan tingkat  realitas tertentu; tetapi tidak dapat menghasilkan apa-apa,seperti  visi realitas, sehingga selama mereka meninggalkan postulat mereka  tidak dapat memberikan alasan dari mereka. Jika  premis Anda adalah sesuatu yang Anda tidak tahu, kesimpulan Anda dan langkah-langkah perantara adalah jaringan hal yang Anda tidak  tahu, oleh mekanisme  konsistensi ini secara formal hanya dapat menjadi ilmu nyata.

Plato tidak tepat. Ini bukan jaringan konsistensi, namun  validitas, berdasarkan inkonsistensi, yang merupakan karakteristik dari  pendekatan formalis. Namun kritiknya adalah yang  mungkin telah ditulis dalam dua puluh  abad Masehi bukan abad keempat  sebelum masehi,ini mengakui  tidak ada keterkaitan antara validitas dan kekosongan. Jika kita bersikeras dan lebih meyakinkan validitas, kita akan mendapatnya, dan memastikan tidak dapat disangkal oleh siapapun, tidak peduli seberapa tidak masuk akal. Tapi kami mencapai ini dengan mengevakuasi apa yang kita katakan tentang semua konten. Alih-alih mengatakan bahwa segitiga 3-4-5 adalah segitiga siku-siku, saya katakan bahwa jika Anda memberi saya aksioma Euclid, maka Anda akan mendapati inkonsistensi ,menyangkal teorema Phytagoras, dan sebagainya harus secara khusus memungkinkan bahwa segitiga 3-4-5 adalah segitiga siku-siku. Tapi mengapa Anda memberikan saya aksioma Euclid? Plato merasa bahwa ia harus memberikan alasan, meskipun dia tidak dapat melakukannya dengan puas. Sebuah formalis, sebaliknya, menganggap yang tanpa alasan dapat diberikan atau bahkan meminta; aksioma Euclid hanya cara dia untuk melanjutkan. Mereka adalah konstitutif Euclidean geometry. Tidak ada alasan mengapa Anda harus melakukannya dengan geometri Euclid, tetapi jika Anda menggunakannya, maka Anda harus menerima aksioma Euclid itu. Hal ini seperti kriket: tidak ada alasan mengapa Anda harus meninggalkan gawang. Untuk bermain kriket  hanya mematuhi aturan kriket, dan untuk menggunakan geometri Euclid adalah sama, dibentuk untuk kita patuhi. Tidak ada salahnya, baik secara hukum maupun secara moral, dalam melakukan geometri non-Euclid. Semua formalis mengatakan bahwa geometri non-Euclid bukan geometri Euclid, dan jika anda tidak menerima aksioma Geometri Euclid maka Anda tidak perlu menggunakan Euclid.

Tetapi matematika tampaknya bukan  hanya sebuah permainan. Dalil-dalil matematika menampilkan dirinya sebagai sesuatu  yang bermakna dan benar. Baik kebermaknaan dan kebenaran dalil matematika yang hilang pada pemikiran  formalis yang ketat pada matematika. Meskipun dalil-dalil dapat ditafsirkan sebagai definisi implisit istilah yang digunakan, mereka gagal untuk mencirikannya sehingga tidak berhasil mendefinisikan properly mereka. Dan lebih jelas, pernyataan deduktif dapat menetapkan kebenaran kesimpulan hanya jika kebenaran premis dapat meyakinkan untuk dibenarkan, dan tidak hanya diasumsikan. Ini adalah alasan mengapa Plato, meskipun terdorong menuju pendekatan formalis, tidak berfikir sepanjang jalan dengan itu. Dia ingin membuat matematika konten, dan karena itu tidak bisa puas hanya dengan aksioma-aksioma postulat, tetapi harus berusaha untuk membangun mereka pada dasar yang logis, yang akan membuat keduanya bermakna dan benar.

Pendekatan aksiomatik Plato sama sekali tidak dapat diadopsi. Tapi kita bisa mengejar setiap opsi lebih jauh daripada dia. Dalam bab berikutnya kita akan mempertimbangkan disiplin dimana alternatif pertama, yaitu bahwa
aksioma benar-benar tidak menduga atau diturunkan tetapi dalam beberapa cara lainnya layak untuk dipercaya.  Di bawah pengawasan modern penampilan kebenaran jelas telah berkurang, dan banyak geometers mendukung suatu bentuk Formalisme dimaksudkan untuk menghindari perkiraan Plato tentang kesia-siaan. Ini akan dibahas dalam bab tiga. Dalam bab empat, lima dan enam kita akan mengejar program "logicist lunak", di mana kita tekan kembali asumsi, (tas hupotheseis anairousa), tidak lagi mengambil aksioma untuk diberikan atau hanya mendalilkan mereka, tapi mencari untuk membenarkan mereka, jika tidak dengan deduksi, kemudian di lain cara, yang akan membuat masuk akal untuk diterima, meskipun tidak benar-benar konsisten untuk ditolak.