Geometri hiperbolik pertama kali ditemukan oleh Bolyai, seorang Hungaria, dari titik yang tidak berada di sebuah garis yang sudah ada dan hanya satu garis yang dapat ditarik sejajar pada garis tersebut seperti dalil Playfair, mereka berdalil bahwa dari sebuah titik tanpa garis lebih dari satu yang tak terbatas jumlahnya, garis-garis dapat ditarik secara parallel pada garis yang sudah ada. Kemudian di abad 19, Riemann mengubah dalil kesejajaran tersebut dengan cara yang berbeda, bahwa tidak hanya satu garis paralel yang dapat ditarik. Hal ini tentunya memerlukan beberapa modifikasi aksioma lain, akan tetapi modifikasi tersebut menghasilkan geometri non-euclid lain yang konsisten yaitu geometri ‘eliptik.’

Geometri Non-Euclid cukup asing, tapi terkesan mudah, kita sudah lebih akrab dibandingkan dengan saat pertama kali Saccheri menghadapinya. Sangat mudah menggambarkan geometri eliptik Non-Euclid dengan memikirkan permukaan bentuk bola seperti bumi atau buah jeruk. Mudah pula untuk melihat bahwa jika lingkaran-lingkaran besar dibuat menjadi ‘garis-garis’, garis-garis paralel geometri eliptik tidak akan ada. Bila dua lingkaran besar bertemu, mereka tidak hanya akan bertemu sekali tapi dua kali karena meridian garis bujur bertemu pada kedua kutub; kutub utara dan kutub selatan. (Sesuai tafsiran tersebut, kesejajaran garis bujur sebenarnya tidak sejajar/parallel sama sekali sebab bukan merupakan garis lurus tapi lebih kepada lingkaran).

Jika kita menganggap oktan jeruk atau lingkar segitiga permukaan bumi ditandai dengan garis meridian Greenwich, Ekuator dan Garis bujur barat 90°, maka akan terlihat mempunyai sudut yang tepat di tiap puncak, sehingga jumlah sudutnya bertambah menjadi tiga sudut yang tepat 270° alih-alih hanya dua sudut yang tepat 180°. Segitiga yang lebih kecil akan memiliki jumlah sudut mendekati 180° yang akan terpelihara saat segitiganya mengecil. Jika kita tahu seberapa besar sudut-sudutnya, tentu saja kita dapat mengetahui sisi-sisi pastinya. Hanya segitiga-segitiga lingkar (poligon) yang tiap sudutnya 90° lah yang sisi-sisinya seperempat dari keliling lingkaran besar. Hal ini menjelaskan tesis Wallis-Saccheri bahwa dalam Geometri Non-Euclid tidak ada segitiga yang sama dengan ukuran yang berbeda. Terlihat dengan mudah pada kasus oktan tersebut bahwa dalil Pythagoras jauh dari benar, dalam hal ini h = a = b.

Dengan cara yang sama, keliling lingkaran yang ditarik pada permukaan bola kurang dari 2 phi r. Jika Kutub Utara diambil sebagai pusat dan beradius seperempat lingkaran besar, Equator yang panjangnya bukan 2 phi × ((1/4) × (lingkaran besar)) tapi hanya (lingkaran besar) harus ditarik, dan  rasio keliling pada jari-jari lingkaran ini bukan 2 phi tapi 4. Permukaan bola mempunyai lengkungan positif, jadi jika dua bidang ortogonal memotong satu sama lain di sepanjang garis yang tegak lurus terhadap permukaan, tiap bidang memotong permukaan dalam kurva yang sisi cekungnya berada dalam arah yang sama seperti yang lainnya. Sehingga hasil yang menegaskan lengkungan permukaan tersebut adalah positif dimana pun sisi cekung menghadap.

Permukaan dengan lengkungan negatif lebih sulit untuk digambarkan. Permukaan pelana atau puncak pegunungan adalah contohnya. Pada permukaan seperti itu, keliling lingkaran lebih dari 2 kali jari-jari, sehubungan dengan kuadrat sisi miring yang lebih besar daripada jumlah kuadrat dua sisi lainnya. Cukup sulit untuk melihat bahwa jumlah sudut pada sebuah segitiga kurang dari 180°, tapi bila kita mempertimbangkan betapa sangat kecilnya perbedaan pada jalan setapak di puncak gunung dapat membawa ke tujuan yang berbeda-beda, kita dapat memahami bahwa segitiga dapat mempunyai sudut-sudut bertambah kurang dari 180°. Jika bentuk segitiga ini dibawa ke batasnya akan muncul area minimum sebuah segitiga. Hal ini sekali lagi menunjukkan betapa dalil Wallis-Saccheri gagal untuk geometri Non-Euclid. Hal ini juga menarik perhatian kita ke bentuk lain geometri Non-Euclid.

Baik geometri hiperbolik maupun eliptik memiliki ‘kesatuan dasar’ tersendiri. Pada geometri hiperbolik terdapat sebuah area minimum yang dapat dimiliki sebuah segitiga dan pada geometri eliptik terdapat panjang maksimum yang dapat dimiliki sebuah garis. (Ini lah sebabnya geometri eliptik membutuhkan modifikasi tidak hanya pada dalil kelima Euclid tapi juga yang kedua, yang menganggap pasti bahwa garis lurus dapat diperluas tak terbatas jauhnya)